Почему математики говорят о себе во множественном числе

Откройте почти любой учебник по математике — и через несколько страниц встретите загадочных «нас»:

«Рассмотрим функцию».
«Докажем, что…»
«Отсюда получаем…»

Но кто именно рассматривает и получает? Автор ведь часто работает над текстом один. И читателя в момент написания рядом тоже нет.

Ответ на самом деле простой: «мы» — автор и читатель.

Математический текст редко бывает просто рассказом о готовом результате. Скорее это маршрут, который предлагают пройти вместе. Автор делает один шаг, читатель проверяет его, затем оба переходят к следующему. Если читатель не может повторить этот путь, доказательство не работает.

Поэтому математическое «мы» можно читать как приглашение. Хотя, конечно, «мы» — это ещё и академическая традиция. Оно помогает автору не повторять на каждой странице «я считаю». Знание не принадлежит ему так же, как может принадлежать воспоминание или впечатление.

⠀
История про усатого соавтора
⠀
В 1975 году физик Джек Хезерингтон подготовил статью, в которой постоянно писал «мы». Но автор у работы был только один. Чтобы не перепечатывать весь текст, он добавил соавтора — своего сиамского кота Честера.

В статье кот появился под солидным именем Ф. Д. Ч. Уиллард. Работа была опубликована, а Уиллард вошёл в историю науки как соавтор исследования по физике низких температур.

Кстати, друзья, как лучше к вам обращаться?

🤓— на «вы»
🕊— на «мы»
😇— на «ты»

#это_база

Ну что, не заблудились среди тропинок?
А мы уже и ответ принесли!

Оказывается, невозможно провести от каждого домика по одной тропинке к погребу, колодцу и навесу так, чтобы ни одна из этих девяти тропинок не пересекалась с другой.

Ход решения

Обозначим три домика за A, B и C, а погреб, колодец и навес как P, K и N, соответственно (как на второй карточке). Пусть дома A и B соединены с каждым из трёх объектов непересекающимися тропинками. Заметим, что в этом случае тропинки разобьют плоскость на несколько областей, а если быть более точным – на 3!

Например, тропинки AP и AK вместе с тропинками BP и BK образуют замкнутый контур ограниченной области. Аналогично, AK и AN вместе с BK и BN образуют замкнутый контур другой ограниченной области. Третья и неограниченная область — это всё, что остаётся.

Таким образом, дом C обязательно окажется в одной из этих областей, каким бы образом мы ни соединяли тропинки.

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ
Пример

Рассмотрим ситуацию, когда он оказался в первой области APKB. Навес N лежит вне этой области, а значит тропинка CN будет обязана пересечь контур области, т.е. одну из уже проложенных тропинок.

Точно так же в случаях если C попала в какую-то другую область — всегда найдётся один из объектов (P, K или N), который не будет лежать внутри этой области, а значит соответствующая тропинка пересечет её контур.

Несмотря на кажущуюся простоту задачи и достаточно быстро напрашивающийся ответ, строгое доказательство не назовешь очевидным, так как его аргументированное обоснование несёт уже вполне топологический характер.

Задачу можно также решить, переведя её на язык графов:

Если каждый из объектов представить в виде точек, то есть вершин графа, а тропинки – рёбер графа, то по сути задача спрашивает, может ли каждая из трёх вершин одной группы быть соединена со всеми тремя вершинами другой группы без пересечений.

Известно, что для любого плоского (то есть лежащего на плоскости) двудольного графа (то есть графа, который можно нарисовать без пересечений) выполняется неравенство

E ≤ 2V−4

где V — число вершин, E — число рёбер графа. У нас V=6, E=9. Тогда для нашего графа должно быть E ≤ 2⋅6−4 = 8, но 9 > 8. Получили противоречие.

Кстати, такой граф, как наш, обозначают как K₃,₃​. Обозначение Kₙ​ означает полный граф на n вершинах: каждая вершина соединена с каждой. Мы только что доказали, что двудольный граф K₃,₃​ не может быть плоским. Это один из двух знаменитых минимальных неплоских графов, второй — граф K₅. Именно эти два графа появляются в знаменитой теореме Понтрягина-Куратовского:

Граф можно нарисовать на плоскости без пересечений тогда и только тогда, когда он не содержит «спрятанного» K₅​ или K₃,₃​

Как вам решение? Было сложно или элементарно?

⚡️ — я справился в два счёта
🗿 — вот бы побегать по этим тропинкам, а не задачи решать...

#задача

Принесли вам новую старую задачку из тех времён, когда в нашем быту повсеместно существовали такие явления, как на картинке

Условие: на рисунке изображены три домика, погреб, колодец и навес.

Задача: проведите от каждого домика по одной тропинке к погребу, колодцу и навесу так, чтобы ни одна из этих девяти тропинок не пересекалась с другой, или докажите, что это невозможно.

Как и всегда, ответы принимаются в комментариях! Мягко напоминаем скрывать их под спойлеры, чтобы другие участники случайно не увидели.

#задача

(Тоже) чувствуете этот вайб?

Поймут только те, кто прочитал пост про Гротендика

#меммат

Самый нишевый математик XX века — Александр Гротендик

Его имя окружено почти мифологическим ореолом. О нём говорят как о фигуре масштаба Гильберта или Пуанкаре. «Он был мастером силы обобщения», — вспоминает его ученик Люсь Илюзи.

Значительная часть его работы относилась к своего рода «математике о математике», называемой теорией категорий. Он выявлял сущностные свойства, общие для самых разных математических объектов.

Вместо того чтобы атаковать проблему напрямую, Гротендик выстраивал вокруг неё целую архитектуру теории, так что решение постепенно становилось естественным и очевидным. Он сравнивал свой метод с размягчением ореха в воде вместо того, чтобы раскалывать его долотом.

При этом его абстракции приводили к вполне конкретным результатам. Приведём три ярких примера:

Со своим учеником Пьером Делинем он доказал знаменитые гипотезы Вейля — глубокие теоремы алгебраической геометрии. Эти гипотезы являются гораздо более сложной версией удивительного наблюдения Рене Декарта XVII века, положившего начало алгебраической геометрии.

Декарт понял, что числа — абстракции от кучек камней — не так уж отличаются от окружностей или эллипсов, абстракций от рисунков на песке. Уравнения могли связать их, позволяя описывать кривые с точной математической строгостью. Гипотезы Вейля представляют собой гораздо более сложную форму той же связи.

Ещё более объединяющее видение Гротендика привело его к определению общих рамок для одновременного изучения геометрических «непрерывных» и арифметических «дискретных» сторон математики, бросающих вызов привычному понятию пространства.

Поэтому, кстати, Гротендика часто сравнивают с Эйнштейном. Причём первое сравнение сделал сам Гротендик — чтобы подчеркнуть как родство духа, так и различие в «субстанции» между ними.

Он остаётся одной из самых почитаемых фигур в мире математики. Без его достижений было бы невозможно подступиться ни к одной из великих проблем теории чисел и алгебраической геометрии, решённых за последние 30 лет. Среди них — последняя теорема Ферма и гипотеза Морделла.

Но не меньше, чем математикой, Гротендик прославился своим громким уходом из науки. Слышали что-нибудь об этом?

Если нет, накидайте огоньков 🔥, и мы продолжим историю учёного, который преобразил математику и исчез.

#история

Ну что, порезали пиццу? Теперь посмотрим, кто попал в правильную область.

Открывайте карточки с решением. Там коллеги из ШАДа максимально подробно объяснили как дойти до правильного ответа.

Те, кто с нами давно, наверняка заметили, что у этой задачи есть некие сходства с нашей старой задачей про полушария Земли. Правда решение там будет другое, но тоже своего рода интересное. Пробуйте решить и её.

#задача

Мы с особым трепетом относимся к задачам про еду… Особенно про пиццу. Поэтому были очень рады, когда Дима Козырев из Школы анализа данных прислал нам эту задачу.

Условие: шеф-повар хочет приготовить пиццу с 3 разными начинками. Каждая начинка случайным образом посыпается ровно на половину пиццы.

Вопрос: какова вероятность того, что на пицце найдётся кусок (область), на котором присутствуют сразу все 3 начинки?

Голосуйте за правильный вариант ответа в опросе ниже и делитесь рассуждениями в комментах. Завтра откроем секрет шеф-повара…

#задача

Математика = ИИ = будущее

В прошлом году мы писали о том, как большие языковые модели начинают подступаться к сложнейшим математическим задачам. Тогда часть историй была скорее про поиск уже существующих решений в архивах и текстах.

Но инфоповод продолжает развиваться. Недавно внутренняя модель OpenAI нашла решение задачи из комбинаторной геометрии, над которой математики думали десятилетиями. Причём речь идёт о действительно оригинальном ходе, который потом проверяли независимые математики.

Кажется, разговор о математике за последние годы сильно изменился. Это уже не только абстрактная наука, а язык, который всё становится всё заметнее в ИИ-моделях, алгоритмах, данных, роботах и других технологиях вокруг нас.

Если вам интересно, где сегодня может пригодиться математическое мышление — от ML до автономного транспорта, — есть повод посмотреть на это вживую.

Приглашаем вас на Young Con — фестиваль Яндекса про карьеру и технологии

В программе: 40+ спикеров Яндекса, Yandex ML Challenge, Data Dojo, карьерные консультации, пробные интервью, демо-зоны сервисов и технологические направления — от Алисы AI до робототехники.

Кроме карьерных активностей на площадке также будут выступления хедлайнеров: TOXI$, Utopia Show, Тима ищет свет, TRITIA, Сергей Мезенцев, Александр Пушной и другие.

Фестиваль бесплатный. Можно прийти офлайн или смотреть онлайн-трансляцию.

25 июня, 10:30–23:00
Москва, Live Арена

Регистрация открыта до 14 июня

#рекомендуем

π = 3

Испугались? Мы пошутили! А вот в Индиане с этим не шутят...

В 1897 году законодательное собрание штата чуть не приняло закон, устанавливающий значение π равным 3,2. Билль был внесён врачом-любителем, который думал, что «квадратура круга» ему удалась. Закон прошёл палату представителей, но застрял в сенате после вмешательства математика из университета Пердью.

Вообще есть официальные подтверждения, что для всех работ NASA достаточно приближённого значения π, равного 3,1416.

Но мы не будем долго останавливаться на этом яблоке раздора. Напомним, что серия про π уже разрослась до целой эпопеи. Тыкайте и читайте:

задачи: первая, вторая
о свойствах π
π в искусстве
π в природе
последовательности π
π в неожиданных местах: часть 1, часть 2

Сегодня мы раскроем ещё одну тему, связанную с π — случайные блуждания.

В 1888 году логик Джон Венн, который также изобрёл диаграммы Венна, попытался наглядно показать случайность цифр π, построив график для первых 707 десятичных знаков. Он сопоставил цифрам от 0 до 7 направления компаса, а затем провёл линии, показывающие путь, задаваемый каждой цифрой.

Графика Бремер показывает, как π «шагает» на расстояниях 100, 1000, 10 000, 100 000 и, наконец, 1 000 000 цифр.

Венн выполнял эту работу пером и на бумаге, но этот метод используется и сегодня — уже с помощью современных технологий, которые позволяют создавать ещё более подробные и красивые узоры.

Эта случайность хорошо иллюстрируется другой визуализацией π, созданной Надией Бремер — астрономом, которая сейчас занимается художественной визуализацией данных и аналитикой в блоге Visual Cinnamon:



















По словам Бремер, самое интересное в этой визуализации — то, что форма пути для 1000 цифр никак не подсказывает, как будет выглядеть путь для 10 000 цифр, а увидев 10 000 цифр, невозможно угадать форму для 100 000. Она считает это идеальным проявлением случайности: прошлое никак не влияет на будущее, и никакой структуры не видно.

Однако, несмотря на бесконечную последовательность непредсказуемых цифр, из которых состоит π, его нельзя назвать по-настоящему случайным числом. И на самом деле в нём обнаруживаются различные удивительные закономерности.

Если бы π было по-настоящему случайным, это означало бы, что последовательность цифр никогда не повторяется и — поскольку π бесконечно — в нём содержатся все возможные шаблоны.

Математики вычислили π уже более чем до 10 триллионов знаков и не обнаружили явной закономерности. Но больше всего их беспокоит то, что никто до сих пор не доказал математически, что π действительно случайно.

А вы на чьей стороне?

🌚 — последовательность π случайна
👀 — вижу закономерности во всём

Прекрасные новости для тех, кто обучается на английском языке:

Учебник Киселёва впервые полностью перевели на английский — спустя 117 лет после выхода оригинала

Перевод подготовил математик Валерий Манохин. В посте о книге он делится первыми отзывами от иностранных учеников:

первокурсница Гарварда после прочтения книги сказала, что до этого школьный курс ощущался как «заучивание формул», а не настоящее понимание

Для русскоязычной математической традиции Киселёв — почти отец: на его учебниках выросло несколько поколений школьников, студентов, инженеров и будущих больших математиков. Колмогоров, Арнольд, Гельфанд, Манин и другие учились анализу по нему.

❤️ — если тоже учились по оригиналу
🤓 — если будете проходить классику на английском

#рекомендуем

В 1939 году аспирант Джордж Данциг опоздал на лекцию по статистике в Калифорнийском университете. Зашёл в аудиторию, увидел на доске две задачи и решил, что это домашка.

Данциг посидел над ней несколько дней и в конце концов он принёс решения своему профессору Ежи Нейману. Оказалось, что это была не домашка...

Нейман записал на доске две статистические задачи, которые на тот момент считались нерешёнными. Данциг просто не услышал эту часть, потому что опоздал.

Он не знал, что перед ним «слишком сложные» задачи. Поэтому сделал то, что обычно делают с задачами: попробовал их решить. И решил. Позже эти решения стали научными публикациями.

Мораль: задача сложная только потому, что вам так сказали

Так что не бойтесь браться за них, искать разные ходы и ошибаться в процессе. Особенно если вы сейчас готовитесь к сессии, ЕГЭ или поступлению.

#это_база