Зачем природе эта математика

Мы привыкли думать, что природа любит непрерывность: диффузию, плавные изменения градиентов, дифференцируемость спектра. Но так ли она непрерывна на самом деле — или существуют явные дискретные переходы?

Одним из первых исследований происхождения биологических узоров стала работа Алана Тьюринга «Химические основы морфогенеза» (1952). Он описал систему реакционно-диффузионных уравнений, показывающих, как из первоначально однородной среды самопроизвольно возникают разные формы за счёт локального взаимодействия и диффузии реагентов.

Долгое время тьюринговские структуры — полосы, пятна и кольца — связывали прежде всего с окраской животных. Однако в 2015 году российские биологи показали: микроструктура роговицы глаз насекомых удивительным образом совпадает с предсказаниями модели Тьюринга, несмотря на большое эволюционное расстояние между видами (см. карточку 1).

Здесь речь идёт не о «красивых узорах». В случае роговицы структуры напрямую связаны с оптической функцией глаз — снижением отражения и улучшением зрения.

Позже, в 2017 году, в журнале Nature вышла работа швейцарских учёных совместно с исследователями из СПбГУ и Сколково. Авторы показали: математическая модель окраски способна меняться внутри одного вида по мере взросления особи (см. карточку 2).

Молодые особи выглядят скромно: коричневые с белыми пятнами — типичный тьюринговский узор. Дальнейшая эволюция окраски лучше всего описывается клеточным автоматом фон Неймана. Каждая чешуйка меняет цвет в зависимости от состояния соседей, а итог задаётся локальными правилами.

То есть: в ходе онтогенеза непрерывная диффузионная модель уступает место дискретной.

Напомним: клеточные автоматы получили известность благодаря игре «Жизнь» Джона Конвея — упрощённому наследнику идей Джона фон Неймана о самовоспроизводящихся машинах. Исследования проявлений клеточных автоматов в природе ведутся давно, и здесь уместно вспомнить классические примеры из их теории.

Один из самых известных — Правило 30 Стивена Вольфрама: простой одномерный автомат, порождающий сложные, во многих отношениях случайные структуры из элементарных и жёстко заданных правил.

Структуры, визуально похожие на узоры Правила 30, встречаются на раковине широко распространённого тропического моллюска Conus textile (см. карточку 3).

Мы часто противопоставляем непрерывные и дискретные модели: дифференциальные уравнения — автоматам, анализ — комбинаторике. Тем интереснее ситуации, когда природа использует обе, но по очереди, когда разные математические объекты соответствуют разным фазам одного и того же реального биологического процесса.

И где-то между юной пятнистой ящерицей и взрослым лабиринтом из чешуек скрывается момент, когда непрерывность уступает дискретности.

#как_устроено