Это разложение квадратного корня из трёх в цепную дробь (кто не знаком с цепными дробями, рекомендуем классическую книжку Арнольда ) . По всей видимости, Архимед, который много занимался приближениями иррациональных чисел рациональными, цепных дробей не знал — упоминаний об этой технике нет ни в его трудах, ни у его комментатора Эвтокия

Однако для приближения корня из трёх Архимед предлагал 265/153 , а это девятая подходящая дробь из той, что на картинке. В других работах он также предлагает такие приближения, как будто владеет техникой цепных дробей

Как по мне, это не меньшее свидетельство гениальности Архимеда, чем знаменитый закон гидростатики