Ну и завершает нашу тройку этих невероятно красивых задач «Проблема Лежандра»: ? n?? ? p - простое: n^2 < p < (n+1)^2. Ой, простите, что-то меня понесло…

Ну вот берём любое натуральное число, например, 7, берём следующее за ним, то есть 8. Дальше каждое из них возводим в квадрат (умножаем на себя же), получаем 49 и 64, а дальше между ними ищем простое — 53. Вот утверждается, что это работает для любого натурального числа.

«И вот эту фигню никто не может доказать?», — подумал я в 20 лет, когда впервые прочитал формулировку задачи.

Мы же знаем, как распределены простые числа в натуральном ряде, то есть число простых чисел между n^2 и (n+1)^2 асимптотически стремится к n / ln(n).

Так как эта величина растёт с ростом n, то вероятность не встретить ни одного простого числа стремится к нулю. Ну значит начиная с какого-то большого n простое должно находиться всегда. А до этого n можно на компьютере пересчитать всё. Так, стоп… Вероятность стремится к нулю… Аааа… Оооо…

Лежандр сформулировал эту задачу в 1808 году, и она также по-прежнему не доказана. Наилучший результат на данный момент установлен Дусареем, Ромеро, Шаффером в 2022 году и они показывают, что для любого n всегда найдётся простое число в промежутке между n^2 и n^2 + n^1.05.

Добавим сюда вопрос о том, а сколько простых чисел, которые можно представить в виде n^2 + 1 и получим четыре Проблемы Ландау. В 1912 Эдмунд Ландау на Международном конгрессе математиков назвал эти 4 задачи главными и «неприступными при текущем состоянии математики».

Итак, что мы имеем. Начиная с 1742 года в нашем мире произошло следующее:

— США подписали декларацию о независимости, прошли через гражданскую войну, отменили рабство, прошли через великую депрессию, пережили атаку 11 сентября и мировой финансовый кризис 2008 года.

— В Европе случилась Французская революция, Наполеон пришёл к власти и потерял её, случились две мировые войны, создание ООН и НАТО, разделение и объединение Германии, Брекзит.

— В России случилась Русско-турецкая война, отмена крепостного права, первая мировая война, февральская и октябрьская революции, гражданская война, создание СССР, Великая Отечественная война, война в Афганистане, распад СССР, две чеченские войны, военные конфликты с Украиной.

— Человечество изобрело первые электрические приборы, интернет, большие языковые модели, осуществило промышленную революцию, запустило человека в космос и высадила человека на Луну, изобрело огромное количество вакцин, открыло пеницилин, клонировало овцу, изобрело пастеризацию и консервы, открыло бозон Хиггса.

И за всё это время ни один из живущих людей так и не смог доказать, что любое чётное число, которое больше 2, можно представить в виде суммы двух простых.