Удивительная теория чисел

А у нас снова гостевой пост в канале. На этот раз от Лёши Царёва про три очень красивые проблемы теории чисел. Ещё у Лёши есть канал про еду, @slaves_of_hedonism

Мб новые подписчики заставят его чаще писать :3

Недавно рассказал своей маме о трёх очень простых, но открытых проблемах математики. Рассказ возник как ответ на утверждение, что «вся математика довольно сложная и даже зачастую сама задача непонятна».

И действительно, какую-нибудь гипотезу Римана человеку «не из тусовочки» легко не объяснить. Даже Великая Теорема Ферма иногда вызывает скрип. Поэтому надо начать с того, чтобы взять очень простой объект и найти про него несколько простых, но абсолютно непробиваемых утверждений.

Возьмём множество натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, и т. д. Один из самых простых и понятных объектов в математике. Числа можно друг на друга делить. Если в результате деления числа a на число b снова получается натуральное число, то говорят, что b является делителем числа a или что a делится на b без остатка. Тут пока тоже всё понятно.

Число называется простым, если оно имеет только два различных делителя: единицу и само себя. Если у числа больше двух различных делителей, то такое число называют составным. Например, 2, 3, 5 и 7 являются простыми числами, а 4, 6, 8, 9 и 10 являются составными. Про 1 договорились, что оно и не простое, и не составное. Добавим сюда арифметические операции сложения, умножения и вычитания, и всё. Этого достаточно для формулировки открытых проблем математики.

Например…

Есть пары простых чисел, которые отличаются друг от друга на два. 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, …, 347 и 349, и т. д. Вопрос: а сколько таких пар всего? Их конечное или бесконечное количество? Вот это «и т. д.» до какого момента будет длиться?

В чуть более общем случае данная проблема получила название «Гипотеза Полиньяка» и была сформулирована в 1849 году, то есть больше 175 лет назад. Насколько я знаю, самый крутой результат по ней был сформулирован проектом Polymath в 2014 году и утверждает, что существует бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются не более чем на 246. То есть не на 2, а не более чем на 246. И заметьте, при постановке этой задачи мы смотрим только на то, как соотносятся простые числа друг с другом.

Другим ярким примером очень понятной, но непробиваемой задачи, является «Гипотеза Гольдбаха». Она утверждает, что любое чётное число, которое больше 2, можно представить в виде суммы двух простых. Например:

4 = 2+2
6 = 3+3
8 = 3+5
10 = 3+7
12 = 5+7
и т.д.

— И вот эту фигню никто не может доказать?
— Ага, уже больше 250 лет.
— И что будет, если это задачу решить?
— Ну минимум получишь миллион долларов и кучу наград.
— Может быть займёшься? Большие деньги всё-таки.
— Боюсь, что это самый сложный способ заработать миллион долларов, который только можно придумать. Ну то есть буквально, понимают все, а доказать не может никто.

Сформулирована она была в 1742 году Христианом Гольдбахом, и потом почти сразу доуточнена Леонардом Эйлером. Тут боюсь соврать, но кажется самый сильный результат из тех, которые я читал, был сформулирован в 1975 году Хью Лоуэлл Монтгомери и Бобом Воганом и утверждает, что почти все чётные числа можно представить в виде суммы двух простых. До работ Харальда Хелфготта, а также Яноша Пинца и Имре Ружа я так и не добрался ??