Интерполяции здорового человека. Я более-менее дописал обещанный несколько месяцев назад текст про интерполяции и делюсь им с дорогими пампищиками. Замечания, рекомендации и предложения are welcome. Текст ещё будет расширяться в смысле библиографии и возможно будет дописан кусочек про тригонометрические интерполяции, но, думаю, что в текущем виде уже можно показывать :-)

Что в тексте. Я проповедую идею, что на все интерполяционные задачи полезно смотреть с точки зрения сопряженного пространства. Идея в том, что «данные для интерполяции» нужно понимать как линейные функционалы. То есть как базис сопряженного пространства. Затем подбирать к ним дуальный базис в исходном пространстве функций (тех, при помощи которых интерполируем) и собирать уже из этих многочленов интерполирующие функции.

Тут есть два важных момента.
1. Формулы получаются символьные, а значит универсальные.
2. Не особо важно какими функциями интерполировать. Можно полиномами (как в обычных сплайнах и интерполяционном многочлене Лагранжа), а можно тригонометрическими функциями, можно и какими-нибудь экспоненциальными даже. Или даже смешанными наборами. В общем чем угодно — не важно. Формулы позволяют.

Есть очевидная трудность с вычислением самих базисных функций. Но, с другой стороны, при выбранной схеме интерполяции эта сложная задача решается один раз. А дальше за счёт символьной природы формул — просто подставляем нужные значения параметров.

Ну и немного эксклюзива.
Можно поиграться с формулами самостоятельно, я сделал проект в colab. Не ругайтесь, весь код сгенерирован при помощи #AI и, вероятно, ужасен :-)

1. Про базис тригонометрических функций тут.
2. Про интерполяцию тригонометрическими функциями тут.
3. Вычисления для сплайнов 5-го порядка здесь.

Надеюсь, что будет полезно и популярно. #научпоп