Решение на границе

В прошлых заметках несколько раз появлялся один и тот же мотив: задача выглядит сложной, пока не заметишь, что какая-то ломаная должна стать прямой, а треугольник — выродиться.
Есть похожая ловушка в задачах на максимум и минимум.
Мы часто ищем «самое лучшее» положение где-то внутри: посередине, в вершине параболы, в точке равновесия. Но иногда правильный ответ сидит на краю. И его легко пропустить просто потому, что край кажется менее естественным.
 
Вот задача, в которой почти все сначала ошибаются.
В селе A живёт 300 школьников, в селе B — 200. Расстояние между сёлами 5 км. Где построить школу, чтобы суммарный путь всех детей был минимальным?
Первый ответ, который хочется дать: где-то между сёлами. Например, так, чтобы «уравновесить» расстояния: 2 км от A и 3 км от B.
Но это не минимум. Это просто точка, в которой дети из двух сёл в сумме прошли бы одинаковые расстояния.
Если x — расстояние от села A до школы, то общий путь равен
300x + 200(5 − x).
То есть 100x + 1000.
Чем меньше x, тем лучше. Значит, школу нужно строить прямо в селе A.
Ответ выглядит немного несправедливо, но с точки зрения условия всё честно: в A детей больше, поэтому каждый шаг от A к B увеличивает общий путь.
 
Другой пример.
Из прямоугольной трапеции с основаниями 3 и 5 и высотой 4 вырезают прямоугольник наибольшей площади. Если обозначить одну его сторону через x, получается
S(x) = 2x(5 − x).
Вершина параболы при x = 2,5, площадь 12,5. Очень хочется на этом остановиться.
Но нельзя.
Горизонтальная сторона такого прямоугольника не может быть меньше короткого основания трапеции: значит, x ≥ 3. С другой стороны, она меньше длинного основания: x < 5. Поэтому x меняется не на всём удобном промежутке, а только при 3 ≤ x < 5.
Вершина параболы оказалась вне допустимой области.
Поэтому максимум достигается на границе: при x = 3. Площадь равна 12.
Формально ошибка маленькая: забыли указать границы изменения x. По сути — нашли максимум не той задачи.
 
Ещё неприятнее это выглядит в задаче с параметром.
Пусть действительные x, y и a таковы, что
x + y = a + 1,
xy = a² − 7a + 16.
При каком a сумма x² + y² принимает наибольшее значение?
Сначала всё идёт гладко:
x² + y² = (x + y)² − 2xy,
поэтому
x² + y² = −(a − 8)² + 33.
Вершина параболы при a = 8. Казалось бы, ответ найден.
Но здесь есть спрятанное условие: x и y должны быть вещественными. Значит, они должны быть корнями квадратного уравнения с неотрицательным дискриминантом.
Это условие даёт
3 ≤ a ≤ 7.
А на этом промежутке выражение −(a − 8)² + 33 возрастает. Поэтому наибольшее значение получается не при a = 8, а на границе допустимых значений: при a = 7.
 
Эти задачи похожи не вычислениями, а типом ошибки.
В истории про вырожденные треугольники нужно было следить, не сломалась ли фигура в пределе. Здесь — не вышли ли мы за пределы задачи, пока красиво считали.