Математическая эссенция
@math_essence
Непрямые прямые
В прошлой заметке уравнение с радикалами распрямилось: под ним пряталось равенство AB + BC = AC. Три точки должны были лечь на одну прямую.
Есть похожий приём, только в задачах на кратчайший путь.
Самая известная версия такая. Даны точки A и B по одну сторону от прямой l. Нужно выбрать на l точку X так, чтобы сумма AX + XB была минимальной.
Фокус старый: отражаем B относительно прямой l и получаем точку B'. Тогда XB = XB', поэтому
AX + XB = AX + XB'.
А кратчайшая ломаная A – X – B' получается тогда, когда она становится прямой. Значит, X — точка пересечения прямой AB' с прямой l.
Это обычно рассказывают как закон отражения света. Но можно смотреть иначе: мы не ищем ломаную. Мы делаем замену, после которой ломаная обязана выродиться в отрезок.
С этой задачей, наверное, все знакомы. Интереснее, когда тот же приём спрятан глубже.
Например: на прямой y = x − 4 нужно найти точку, сумма расстояний от которой до параболы
y = 0,5x² + 3x + 6,5
и до окружности
(x − 3)² + (y − 5)² = 4
минимальна.
На вид задача уже совсем другая. Тут не две точки и зеркало, а прямая, парабола и окружность.
Но окружность можно заменить её центром C(3; 5). Точнее, расстояние до окружности отличается от расстояния до центра на величину радиуса 2. Для поиска минимума эта постоянная ничего не меняет.
Теперь отражаем центр C относительно прямой y = x − 4. Получается точка C'(9; −1).
Задача снова распрямилась: нужно найти на параболе точку A, ближайшую к C'.
Если точка A на параболе уже выбрана, то лучший путь A – X – C после отражения становится отрезком AC'. Значит, остаётся найти на параболе точку A, ближайшую к C'.
Это уже обычная задача на минимум: можно минимизировать квадрат расстояния от точки (t; 0,5t² + 3t + 6,5) до C'. Получается t = −1, то есть A(−1; 4).
Прямая через A и C' пересекает y = x − 4 в точке (5; 1).
Ответ: (5; 1).
Что здесь приятно: исходная задача вообще не похожа на задачу про отражение. В ней нет луча света, нет зеркала в привычном виде, нет двух данных точек. Но внутри тот же механизм. После отражения кратчайшая ломаная снова распрямляется.
В прошлой заметке уравнение с радикалами распрямилось: под ним пряталось равенство AB + BC = AC. Три точки должны были лечь на одну прямую.
Есть похожий приём, только в задачах на кратчайший путь.
Самая известная версия такая. Даны точки A и B по одну сторону от прямой l. Нужно выбрать на l точку X так, чтобы сумма AX + XB была минимальной.
Фокус старый: отражаем B относительно прямой l и получаем точку B'. Тогда XB = XB', поэтому
AX + XB = AX + XB'.
А кратчайшая ломаная A – X – B' получается тогда, когда она становится прямой. Значит, X — точка пересечения прямой AB' с прямой l.
Это обычно рассказывают как закон отражения света. Но можно смотреть иначе: мы не ищем ломаную. Мы делаем замену, после которой ломаная обязана выродиться в отрезок.
С этой задачей, наверное, все знакомы. Интереснее, когда тот же приём спрятан глубже.
Например: на прямой y = x − 4 нужно найти точку, сумма расстояний от которой до параболы
y = 0,5x² + 3x + 6,5
и до окружности
(x − 3)² + (y − 5)² = 4
минимальна.
На вид задача уже совсем другая. Тут не две точки и зеркало, а прямая, парабола и окружность.
Но окружность можно заменить её центром C(3; 5). Точнее, расстояние до окружности отличается от расстояния до центра на величину радиуса 2. Для поиска минимума эта постоянная ничего не меняет.
Теперь отражаем центр C относительно прямой y = x − 4. Получается точка C'(9; −1).
Задача снова распрямилась: нужно найти на параболе точку A, ближайшую к C'.
Если точка A на параболе уже выбрана, то лучший путь A – X – C после отражения становится отрезком AC'. Значит, остаётся найти на параболе точку A, ближайшую к C'.
Это уже обычная задача на минимум: можно минимизировать квадрат расстояния от точки (t; 0,5t² + 3t + 6,5) до C'. Получается t = −1, то есть A(−1; 4).
Прямая через A и C' пересекает y = x − 4 в точке (5; 1).
Ответ: (5; 1).
Что здесь приятно: исходная задача вообще не похожа на задачу про отражение. В ней нет луча света, нет зеркала в привычном виде, нет двух данных точек. Но внутри тот же механизм. После отражения кратчайшая ломаная снова распрямляется.
👍 7
🔥 4
❤ 2
7 847
Обсуждение 0
Обсуждение не доступно в веб-версии. Чтобы написать комментарий, перейдите в приложение Telegram.
Обсудить в Telegram