Треугольник, который должен выродиться
 
В прошлой заметке вырожденный треугольник был плохим концом истории. Мы искали треугольник наименьшего периметра, а в пределе получили отрезок. Поэтому минимума не было.
Но бывает и наоборот: вырожденный треугольник не мешает, а решает задачу.
Например, уравнение на картинке выглядит как обычная неприятная алгебра с радикалами. Но радикалы можно прочитать как расстояния.
Возьмём точки A(1; 3), B(x; 3/x), C(3; 1).
Тогда первое слагаемое — это расстояние AB, второе — расстояние BC, а правая часть равна AC.
То есть уравнение говорит просто:
AB + BC = AC.
А это уже не алгебра. Это равенство в неравенстве треугольника.
Для любых трёх точек AB + BC ≥ AC. Равенство возможно только в одном случае: точки A, B, C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C.
Иными словами, треугольник ABC должен выродиться в отрезок.
Осталось посмотреть, где точка B(x; 3/x), лежащая на гиперболе y = 3/x, может попасть на отрезок AC.
В данном случае это происходит только в концах отрезка:
B = A или B = C.
Отсюда x = 1 или x = 3.
В прошлой задаче вырожденный треугольник означал, что настоящий минимум не достигнут. А здесь всё наоборот: уравнение специально заставляет треугольник выродиться. И как только это замечено, страшные радикалы превращаются в одну прямую.