Треугольник, которого нет

В задаче из опроса правильный ответ немного неприятный: наименьшего значения периметра нет. Точки выбрать можно, треугольники получаются. Можно делать их всё более «короткими» — а лучший так и не появится.
Это старый сюжет. В остроугольном треугольнике задача Фаньяно решается красиво: вписанный треугольник наименьшего периметра образуют основания трёх высот. Это ортотреугольник.
Но наш треугольник тупоугольный, и здесь такая картинка уже не работает. «Лучший» треугольник уезжает в вырожденное положение: две вершины сливаются, вместо треугольника остаётся высота. Получить нужное число мало: нужно ещё проверить, что оно где-то достигается.
Совсем простой пример. Пусть AB = 1, а точка C выбирается так, что AC + BC = 2. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник ABC?
Первый ответ — 0. Но нет. Точку C можно брать всё ближе к прямой AB, площадь будет стремиться к нулю. А если C окажется на прямой AB в предельном положении, треугольник исчезнет. Среди настоящих треугольников минимума нет. Есть только нижняя граница — 0.
Похоже на придирку, но это не придирка.
Есть, например, задача Какеи об игле. Дан отрезок длины 1. Какую площадь должна иметь область, чтобы внутри неё можно было развернуть этот отрезок?
Если вращать отрезок вокруг середины, он заметает полукруг. Кажется, совсем без площади не обойтись. Но Бесикович показал: единичную иглу можно развернуть в области сколь угодно малой площади. А если требовать не непрерывного движения, а только наличия единичного отрезка в каждом направлении, получается ещё страннее: существуют множества площади ноль, содержащие отрезок длины 1 в каждом направлении.
Горизонтальный отрезок есть. Вертикальный есть. Под любым углом есть. А площади нет.
Отрезок имеет длину, но не имеет площади. И бесконечно много отрезков можно расположить так хитро, что направления будут все, а плоской площади всё равно не будет.
Вспомним ещё задачу Тёплица о вписанном квадрате. Дана простая замкнутая кривая на плоскости. Обязательно ли на ней можно выбрать четыре точки — вершины квадрата?
Для гладких кривых ответ положительный. Одна из идей такая: смотреть не на одну кривую, а на весь фильм. Начинаем с почти круглой кривой, где квадрат есть и ситуация не вырождена, а потом плавно превращаем её в нужную кривую. Вписанные квадраты в этом фильме тоже движутся. В обычной ситуации они не появляются и не исчезают по одному: два квадрата могут родиться вместе или два могут вместе исчезнуть. Поэтому число квадратов меняется на 2, но не на 1. Если в начале был некоторый нечётный запас, полностью обнулиться он не может.
Это похоже на рассуждение про вершины нечётной степени в графе. Одно ребро меняет степени сразу у двух вершин, поэтому нечётные вершины не возникают по одной. Так и здесь: если квадраты уничтожаются парами, нельзя избавиться от последнего.
Но для произвольной кривой ломается наивный довод: «приблизим её гладкими». На каждой гладкой версии квадрат есть, но это могут быть всё более мелкие квадраты, каждый раз найденные на новой мелкой детали кривой. Теорема не обещает, что их размер не стремится к нулю. Поэтому в пределе четыре вершины могут сбежать в одну точку. На каждом шаге был квадрат, а в конце осталась точка.
Поэтому задача Тёплица тоньше, чем кажется. Она не только про то, как найти четыре вершины квадрата. Она ещё и про то, как не дать этим четырём точкам схлопнуться в одну.
В 2024 г. Асано и Ике объявили более общий результат: для большого класса кривых, включающего все спрямляемые кривые, существуют вписанные прямоугольники заданной формы. Квадрат входит сюда как частный случай. Такие кривые могут быть очень неровными, но у них всё ещё есть общий контроль длины.
А для произвольной жордановой кривой задача о квадрате остаётся открытой.
В маленькой задаче про треугольник и в большой задаче про квадрат проблема похожая. Хорошее число или хорошая фигура могут появиться только в пределе. А в пределе условия иногда уже сломались: треугольник стал отрезком, квадрат — точкой.