Почему близнецы не симметричны
 
В фильме «Время» Алексей Семихатов рассказывает знаменитый парадокс близнецов. Один брат остаётся на Земле, другой улетает на ракете почти со скоростью света, затем возвращается — и оказывается моложе. Для путешественника прошло, скажем, 10 лет, а на Земле — 50.
На первый взгляд это странно. В специальной теории относительности все инерциальные наблюдатели равноправны: каждый может сказать, что часы другого идут медленнее. Тогда почему после встречи один брат действительно моложе? Почему их нельзя просто поменять местами?
В фильме этот момент остаётся за кадром: говорится о результате, но геометрическая причина асимметрии не раскрыта.
В пространстве-времени Минковского собственное время, прожитое объектом, — это длина его мировой линии. Только длина считается не по евклидовой формуле, а с другой метрикой:
ds² = c²dt² − dx² − dy² − dz².
Из-за минусов привычная геометрическая интуиция переворачивается. В евклидовой геометрии прямая между двумя точками — кратчайший путь. А в пространстве-времени Минковского прямая инерциальная мировая линия между двумя событиями даёт наибольшее собственное время.
Есть два события: старт и встреча после возвращения. В идеальной версии задачи земной брат движется инерциально, и его мировая линия между стартом и финишем — прямая. Путешественник сначала улетает от Земли, потом тормозит, разворачивается и летит обратно. Его мировая линия не прямая: это два почти прямых участка, соединённых разворотом. Поэтому её собственная длина, то есть прожитое путешественником время, оказывается меньше.
В простейшей модели, где ракета летит с постоянной скоростью v сначала туда, потом обратно, собственное время путешественника считается так:
τ = ∫ √(1 − v²/c²) dt.
Множитель √(1 − v²/c²) меньше 1, поэтому вдоль движущегося участка проходит меньше собственного времени, чем по земным часам. А если сравнивать две мировые линии с одними и теми же началом и концом, то инерциальная линия даёт максимум собственного времени.
Но разве на каждом участке путешественник не может сказать, что это земные часы идут медленнее?
Может. На участке равномерного удаления — может. На участке равномерного возвращения — тоже может. Но между этими участками он меняет инерциальную систему отсчёта. А вместе с ней меняется и то, какие события на Земле он считает одновременными с собой.
В идеализированной модели мгновенного разворота это выглядит как скачок одновременности: земная дата, которую он относит к «сейчас», резко перескакивает вперёд. Если разворот плавный, буквального скачка нет; есть непрерывное изменение срезов одновременности. В пределе мгновенного разворота это изменение превращается в скачок.
То же самое видно при движении по окружности: никакого резкого разворота нет, но путешественник всё время меняет мгновенно сопутствующую инерциальную систему отсчёта, и его мировая линия всё равно не является прямой. Поэтому асимметрия сохраняется и без скачка.
Так что парадокс близнецов — не противоречие внутри специальной теории относительности. Это столкновение обычной интуиции с геометрией пространства-времени.
Ускорение не «магически замедляет время»: основная разница набегает при долгом движении с большой скоростью, где множитель √(1 − v²/c²) мал. Ускорение лишь позволяет набрать скорость, сменить направление и снова встретиться с братом. Главное различие в другом: братья прошли между одними и теми же событиями по разным мировым линиям и накопили разное собственное время.
Собственное время — это не общее для всех «течение времени», а длина конкретного пути в пространстве-времени. Близнецы родились одновременно, но после полёта прожили разное число собственных секунд. Поэтому их возраст — в физическом смысле — уже различен.
В геометрии Минковского инерциальная мировая линия — путь максимального собственного времени: между заданными стартом и финишем больше всех стареет тот, кто идёт по прямой. Разворот, плавное ускорение или движение по окружности делают путь непрямым и уменьшают собственное время.
Так мнимый парадокс исчезает: сравниваются не два времени «вообще», а две разные мировые линии.