Мы пришли за тем, чтобы внести аванс.

Правильно
Мы пришли затем, чтобы внести аванс.

Почему
В данном случае затем — это наречие в составе сложного союза, а не местоимение с предлогом. Поэтому и пишется слово слитно.

Сбивать с толку может запятая, но это хитрая особенность союза затем чтобы — обычно знак ставится не перед ним, а между его частями.