1-4 قانون همگنی ابعادی
اکنون که می‌توانیم بعضی جنبه‌های طبیعت را با ابعاد اصلی و فرعی به روش کمی بیان کنیم، با مشاهده و آزمایش دقیق می‌توانیم بیاموزیم که چگونه کمیتها را به صورت معادله‌‌هایی به یکدیگر ارتباط دهیم. از این نظر، قانون مهمی به نام قانون همگنی ابعادی وجود دارد که در تنظیم چنین معادله‌هایی محدودیت پدید می‌آورد.
این قانون می‌گوید که چون پدیده‌‌های طبیعی بدون توجه به واحدهای ساخته‌ انسان پیش می‌روند، معادله‌‌های اصلی نشان دهنده پدیده‌‌های فیزیکی باید برای تمام دستگاه‌‌های واحدها معتبر باشند. مثلا، معادله زمان تناوب آونگ، ( t=2π√(L/g)، باید برای تمام دستگاه‌‌های واحدها معتبر باشد، لذا آن را از نظر ابعادی همگن می‌خوانند. نتیجه می‌گیریم که معادله‌‌های بنیادی فیزیک از نظر ابعادی همگن هستند و تمام معادله‌هایی نیز که به طور تحلیلی از این قوانین بنیادی مشتق می‌شوند باید از نظر ابعادی همگن باشند.
این شرط چه محدودیتی در معادله‌ها به وجود می‌آورد؟ برای پاسخ، ابتدا معادله اختیاری زیر را بررسی می‌کنیم :
x=ygd+k
برای اینکه این معادله از نظر ابعادی همگن باشد، تساوی عددی دو طرف معادله باید در تمام دستگاههای واحدها محفوظ بماند. برای این منظور، تغییر مقیاس سنجش هر جمله به هنگام تغییر واحد باید یکسان بماند. یعنی، اگر مقدار عددی یک گروه مانند ygd در دستگاه جدید دو برابر شود، کمیتهای x و k نیز باید دو برابر شوند. برای اینکه این امر در همه دستگاههای واحدها صدق کند، باید همه گروههای معادله نمایش ابعادی یکسان داشته باشند.
از این جهت، نمایش ابعادی معادله بالا را در حالت زیر در نظر بگیرید:
[x] = [ygd] + [k]
از نتیجه‌گیری قبلی برای همگنی ابعادی لازم می‌آید که :
[x] ≡ [ygd] ≡ [k]
برای روشن‌تر شدن موضوع، نمایش ابعادی معادله‌‌ای را در نظر بگیرید که از نظر ابعادی همگن نیست، مثل
[L] = [t]² + [t]
وقتی واحدها را از دستگاه آمریکایی به دستگاه SI تبدیل می‌کنیم، فوت به متر تبدیل می‌شود ولی هیچ تغییری در واحد زمان داده نمی‌شود؛ بدیهی است که مقدار عددی سمت چپ معادله تغییر می‌کند در حالی که مقدار عددی سمت راست معادله تغییر نمی‌کند. پس، معادله در دستگاه جدید واحدها، غیر معتبر محسوب می‌شود و بنابراین از قوانین اساسی فیزیک مشتق نشده است. در سرتاسر این درس، همواره با معادله‌‌هایی سروکار داریم که از نظر ابعادی همگن باشند. لذا، برای تشخیص خطاها باید معادله‌ها را از نظر ابعادی تحلیل کنیم.